决定系数(决定系数（R平方）解释)

什么是R平方，它有什么作用？

R平方是用于评估我们的回归模型的拟合优度的统计度量。

在R平方中，我们有一个基线模型，它是最差的模型。该基线模型没有使用任何独立变量来预测因变量Y的值。相反，它使用因变量Y的观测响应的平均值，并始终将该平均值预测为Y的值。

我们适合的任何回归模型都与该基线模型进行比较，以了解它是否合适。

换句话说，

R-squared简单地解释了与基线模型相比，您的模型有多好

上图中的红线是基线模型，它总是预测因变量Y的观测响应的均值作为Y的值，而不考虑自变量的值。

绿线是我们的拟合模型，它利用自变量来预测因变量Y的值。

R平方的数学表示

R平方由下式给出

其中SSE是我们的回归模型的误差平方的总和

而SST是我们的基础模型的误差平方的总和。

R平方值可以取的范围是多少？

我们最糟糕的回归模型可能是基线模型本身。

因此，在这种情况下，SSE将等于SST。

所以R平方将等于

R平方= 1-1 = 0

这就是R平方= 0的模型的样子

我们最好的模型将是完美适合所有数据点的模型，所以在这种情况下SSE将为0。

所以，R平方= 1-0 = 1表示一个完美的模型。

与模型R平方接近1

所以R平方可以取0到1之间的值，其中接近于0的值表示不合适，而接近1的值表示完美契合。

如何解释R平方？

如果R平方= 0.93，则意味着因变量Y的93％变化由我们模型中存在的自变量解释。

使用R平方的缺陷

R-squared可以被人为地提高。也就是说，我们可以通过简单地向模型添加越来越多的自变量来增加R平方的值。

换句话说，在添加更多独立变量时，R平方不会减少。

有时候，这些变量中的一些可能非常微不足道，对我们的模型来说可能是无用的。

为什么会发生？

当SSE / SST最小时，R平方最大。

为了SSE / SST最低，SSE应该是最小的。

现在，随着我们向模型添加更多解释变量，SSE将会减少。这是因为我们在回归模型中添加了更多的解释变量，所以我们的回归模型会更好地拟合数据点，因此平方误差的总和会减少。因此即使变量对我们的模型不重要，R平方也会增加。

为了避免由R平方引起的这个问题，我们使用调整的R平方

调整R平方

调整后的R平方简单地惩罚了添加更多无用变量的模型。

调整的R平方由下式 给出

n =没有数据点

p =模型中不使用的独立变量

调整的R平方是如何工作的？

随着我们模型中增加自变量的 数量 ，n-p-1减少，所以如果我们除以

通过越来越小的数字，结果值将越来越大，并且当从1减去该值时，调整的R平方 将减小。

所以通过增加更多无用的变量，调整的R平方的值减小。

例

考虑以下数据

考虑使用x1和x2作为独立变量的模型1来预测变量y的值

这个模型的R平方= 0.909。调整的R平方为此计算为

现在，如果我们选择将另一个变量x3添加到我们以前的模型中

这个模型的R平方= 0.912，比我们以前的模型略高。调整的R平方为此计算为

注意在这个例子中，当我们将变量x3添加到我们的模型中时，R平方的值的增加（与之前的模型相比）非常小（0.003），除此之外分母的值已经从10降到9。因此调整R平方的结果值下降，表明x3对我们的模型不重要。

这很好解释了当我们向模型中添加越来越多的无用变量时，R值的平方值不会显着增加，调整的R值的平方值就会下降。

R平方与调整的R平方有什么不同？

R平方告诉你模型如何适合数据点，而调整的R平方告诉你模型的特定特征有多重要。