​棱台体积公式推导过程（棱台的体积和圆台的侧面积）

棱台体积公式推导过程（棱台的体积和圆台的侧面积）

圆锥体被平面切割成两部分。 圆锥体的上半部分形状不变，仍然是圆锥，但下半部分构成棱台。 为了得到正圆锥体的这一部分，我们必须水平切割与底部平行。 两个物体都有不同的体积。 在这里学习棱台和圆台的体积及圆台的侧面积。

当一个实体(一般圆锥或金字塔)被平行底面的平面截取时, 去掉上面的锥体部分，余下的部分就是棱台。

为了正确地想象圆锥体，设想一个完全装满了冰淇淋的蛋筒。当按图中所示的方式切割锥体时，在基底与平行平面之间留下的截面就是锥体的截锥体-棱台。

圆台的体积

让我们在这里学习如何利用所给的图求圆锥的截锥体积。 这个公式也可以帮助求出锥体形状的金字塔截锥体的体积，包括圆台和棱台。

我们根据上图推导圆台的体积：

我们知道圆台的体积是大圆锥体减去小圆锥体，因此有，

其中h=H+h’, 现在需要求出 h’, 根据相似的三角形，很容易解出：

将h’ 和h=H-h’带入上面的体积等式做差，就可以得出圆台的体积公式：

对于广义的棱台它的体积公式：

如果棱台的高为H，上下底面积分别是S1和S2，

因此圆台体积是棱台体积的特殊形式。

圆台的侧面积的计算

根据上图，小圆锥体和大圆锥体的横截面是相似的三角形，我们可以看到 ：

解s, 得出：

由此可以得出圆台的侧面积公式：

例题

圆锥体被水平的平面切割。 截锥体圆顶半径10m，圆底半径3m。 截锥体高度为24米。 如果圆台高度为24m，则求圆台的侧表面积。

解:

半径为r1 = 10m, r2 = 3m

高度，H = 24m

首先，我们需要找到截锥体的母线长l，通过公式:

L =√[

+

]

=√(49 + 576)

=√625

= 25米

圆台的侧面= π(r1 + r2)l

LSA =π(10 + 3)25

= 325π平方米。